Tình Toán Học
Toàn Phong Nguyễn Xuân Vinh

Trich Canh Thep.

1. Tình Toán Học

Từ nhiều năm qua tôi hay nhận được thư của các bạn trẻ, thế hệ thanh niên, sinh viên lớn lên ở nước ngưòi. Phần lớn là những bạn đã nghe tôi nói chuyện ở những địa phương có đông người Việt hay đọc những bài viết của tôi trên những báo Việt ngữ. Trong những thư, có hai vấn đề, hay nói cho đúng hơn là hai câu hỏi thường hay được nêu ra để tôi viết trả lời. Nhiều ngưòi muốn biết là tôi làm thế nào để chia xẻ thời gian vừa thi hành bổn phận trong quân đội của mình vừa học thêm những điều muốn học, đặc biệt là về môn toán học thật khó khăn, nếu không có thầy chỉ dẫn tường tận. Cũng có những bạn đã được những người lớn tuổi hơn cho biết là trước đây tôi đã viết một chuyện tình thật thơ mộng làm say mê người đọc và ước ao được thấy tôi tiếp tục viết những chuyện tình cảm như ngày xưa tôi đã viết. Để trả lời những câu hỏi, và để độc giả có giờ phút mua vui khi xuân sang, tôi sẽ bắt chước những thi nhân đã nói về Nàng Thơ của mình, để trong bài viết tâm tình này nói đến Nàng Toán của tôi.

Thuở Ban Đầu

Tôi không nhớ là đã mê Toán Học, mà người ta đã gọi là Nữ Hoàng của các môn Khoa Học, từ bao giờ nhưng có thể gọi là đó là mối tình đầu của tôi, và để rồi trọn đời vương lụy, như trong những câu hát

Gặp em, vương mối tình đầu,
Gặp em, chuốc lấy muộn sầu.
Để rồi một kiếp thương nhau,
Giận hờn trong trái tim đau.
 

Từ thuở nhỏ tôi đã mê thích toán học, nhưng không phải vì thế mà tôi có thể làm mấy phép tính cộng hay trừ nhanh hơn bạn bè trong lớp. Điều đó thuộc về phạm vi số học mà về môn này tôi lại không thành thạo. Đôi khi phải giúp mẹ tôi tính tiền chợ mà tôi cứ cộng sai be bét. Tôi hiểu biết thêm về toán học sau khi đọc được một bài viết của giáo sư Hoàng Xuân Hãn trong một số Báo Khoa Học của ông, và hình như là số đầu tiên ra mắt vào tháng Giêng năm 1942 thì phải. Theo giáo sư họ Hoàng thì toán học không phải là mấy phép tính cộng, trừ, nhân, chia hay khai phương vì đó chỉ là toán pháp nghiã là phép tính. Toán học cũng không phải là cách đo diện tích của một hình hay thể tích của một khối, nhưng nhờ toán học mà người ta tìm ra được những định lý vĩnh cửu như ta biết được rằng trong tất cả các hình phẳng mà có cùng một chu vi thì hình tròn có diện tích lớn nhất. Khái niệm lớn và nhỏ khác nhau nẩy nở cùng một lúc với sự phát triển óc thông minh và tư duy toán học của loài người. Khi người ta nói A lớn hơn B, và B lớn hơn C, vậy thì A lớn hơn C, tức là người ta đã dùng lý luận toán học. Theo tôi nghĩ thì những người có trực giác mạnh và có óc lý luận thì học toán sẽ dễ dàng. Thuở nhỏ mỗi lần thấy ai nói gì mà trái ngược lại với những điều tôi suy luận ra được, và tôi thấy ngay là lời nói ấy không đúng, là tôi đặt ngay câu hỏi, có khi cả với người trên, thường thường là với mẹ tôi, và luôn luôn bị mắng át đi là :"thằng này, mày chỉ lý sự cùn". Cái lý sự cùn của tôi thật ra ít người bẻ lại được. Bố mẹ tôi khi thấy tôi hay lý sự lại không nghĩ rằng tôi sẽ trở nên một học sinh giỏi về toán mà cứ cho rằng với cái mồm mép hay bắt bẻ như vậy để tìm ra chân lý thì tôi sẽ học để trở thành một luật sư.

Mối tình của tôi với Nàng Toán cứ tăng dần theo với thời gian. Mỗi lần học thêm được một môn học mới tôi lại khám phá thêm ra được một vẻ đẹp của toán học. Mới đầu là môn đại số. Theo phương pháp này thì muốn giải một bài toán, nghĩa là tìm ra một số chưa biết, gọi là ẩn số, thì cứ dùng chữ x để gọi số này rồi theo đầu bài mà viết ra phương trình. Sau đó giải phương trình để tìm ra trị giá của x. Mới học được phương trình đại số bậc nhất tôi mang ra giải bài toán mà phần lớn chúng ta ai cũng biết vì đã làm khi ở lớp Nhất bậc tiểu học là :

"Vừa gà vừa chó có 36 con. Cộng lại cho tròn 100 chân chẵn. Tìm số gà và số chó".

Tôi giải bài toán bằng đại số thật là ngon lành không phải dùng lý luận bậc tiểu học khi xưa là thí dụ tất cả đều là chó thì sẽ có 36 x 4 = 144 chân, tức là thừa ra 44 chân. Nay mỗi lần hóa phép biến một con chó thành một con gà thì bớt đi được 2 chân. Muốn bớt đi đúng 44 chân thì phải biến 22 con chó thành gà. Đó là số gà ở trong sân trại và dĩ nhiên số chó phải có là 36 - 22 = 14 con. Chính vì cái lý luận lẩm cẩm biến chó thành ra gà mà tôi thấy không thoải mái với lối giải khi xưa. Phương pháp đại số đi thẳng vào vần đề đã giải tỏa cho tôi nỗi ấm ức này. Tôi nghĩ lối dùng ẩn số x thật là kỳ diệu. Nếu gọi x là số gà thì tức là có 2x là số chân gà. Còn lại (36-x) là số chó và như thế số chân chó sẽ là 4(36-x). Cộng lại phải được 100 chân nghĩa là ta có phương trình

2x + 4(36-x) = 100

Giải ra ta sẽ có ngay x = 22 . Bài toán được tôi nhớ mãi cho đến bây giờ nên cách đây vài năm tôi viết lại như là một chuyện vui toán học để cho một ông Trạng Nguyên nước Việt đi sứ sang Bắc Kinh và dùng phương pháp đại số với ẩn số x để giải quyết được nhiều việc cho Hoàng Đế thiên triều. Bài viết được đăng trên báo Phụ Nữ Việt với nét hý họa của họa sĩ Long Ân.

Cái tinh thần toán học đã giúp cho loài người luôn luôn cải tiến môn học này để đi tới tuyệt đối của chân thiện mỹ. Chính cái tinh thần này, hình như đã có sẵn trong con người tôi, đã giúp cho tôi hành xử chân thật trong cuộc đời. Đôi khi cũng có người nhắc nhở lại cho tôi sự việc này. Trong số báo ra ngày 4 tháng Mười, năm 2002 của tuần báo Việt Mercury ở California, có bài viết của giáo sư Đỗ Qúy Toàn làm tôi chú ý. Đỗ Qúy Toàn là nhà thơ, nhà báo, và ông cũng là giáo sư dạy tài chánh học tại các đại học McGill, Québec và Concordia ở Canada. Ngoài ngành chuyên môn về "lý thuyết tài chánh và thị trường vốn" ông còn là Chủ bút tạp chí Thế Kỷ 21 tại California từ năm 1989 cho đến năm 2001. Tôi viết giới thiệu dài dòng về chuyên gia kinh tế Đỗ Qúy Toàn, tác giả của bài báo "Tương Thị Mạc Nghịch" trong mục hàng tuần về "Đời Sống Kinh Tế" của Việt Mercury mà tôi đọc được, là cốt để bạn đọc hiểu được cảm xúc của tôi lúc bấy giờ. Tôi xin phép tác giả và Tuần báo Việt Mercury được trích nguyên văn những câu mở đầu của bài viết như sau :

"Mỗi sinh hoạt dùng đến chất xám đều có một thứ vui thú riêng người ngoài không hiểu được ở cõi nhân gian không thể hiểu, nói như thi sĩ Du Tử Lê.

Tôi nhớ thủa nhỏ học toán với giáo sư Nguyễn Xuân Vinh, thầy giáo cùng với cả lớp giải một bài toán xong rồi, giáo sư cứ đứng đó suy nghĩ không nói gì cả. Nhìn ông một lúc thì tôi cũng đồng ý. Cách giải đó đúng rồi, nhưng không đẹp. Chắc chắn có thể tìm một cách giải đẹp hơn, "élégant" hơn, như giáo sư Vinh hay diễn tả bằng tiếng Pháp.

Đối với người bình thường thì giải được bài toán xong coi là đủ, nhưng đối với một người yêu toán học thì hạnh phúc ở đời là tìm được một bài giải "élégant"."
 

Sau phần mở đầu này thì tác giả bước vào phạm vi chuyên khoa của mình. Bài báo tất nhiên là viết cho những độc giả hàng tuần luôn theo dõi những vấn đề kinh tế. Nhưng với tôi, nhờ đọc bài báo mà tôi lấy được niềm tin, như người tìm ra được chân lý, là học toán, và hiểu được tinh thần toán học giúp ta thấy cuộc đời tươi đẹp hơn, vì ta luôn luôn cố tìm ra cái khía cạnh tốt đẹp của ngay cả những sự việc rất bình thường.

Môn đại số cũng cần phải chút tính toán lẩm cẩm nên tôi vẫn chưa hoan hỷ cho lắm. Cho đến lúc được học những định lý đầu tiên trong môn Hình Học thì tôi hoàn toàn bị toán học cám dỗ và giấc mộng ban đầu của tôi là trở thành một toán gia. Trong năm đầu tiên đuợc biết tới môn hình học thì tôi nhận thấy ngay rằng nhiều tính chất và định lý hình học tương quan đến những hình tam giác và vòng tròn tôi đã tự tìm ra được khi còn ỡ những lớp tiểu học tôi tập vẽ những hình này bằng compa và thước kẻ thẳng. Theo tôi thì trong toán học, môn hình học thật là đẹp tuyệt vời. Triết gia đại danh của Hy Lạp đời xưa là Plato (428-348 trước Công Nguyên) đã thuyết giảng cho môn đồ ở một vườn cây nhiều bóng mát ở gần thành Athens và đặt tên cho khu đó là Akademeia và cho khắc trên cửa vào hàng chữ : "Ai không phải là nhà hình học thì đừng vào cửa này".Ở thời đại của Plato, Hình học được coi như là một môn toán học siêu đẳng. Người đời sau cũng đã dựa theo tổ chức của Plato và lập ra những Viện Hàn Lâm, gọi theo tiếng Pháp là Académie hay theo tiếng Anh là Academy để chỉ một hội trí thức với số thành viên hạn chế nhằm phát huy một bộ môn văn hóa, khoa học hay kỹ thuật.

Chuyên Khoa Toán Học

Tuy những ông thầy ở những lớp tiểu học cũng đã khen tôi là có năng khiếu về toán và khuyến khích tôi theo đuổi ngành này, nhưng phải đợi cho đến những năm cuối của bậc trung học và những năm bắt đầu vào đại học tôi mới quyết định gạt bỏ hết những cám dỗ khác như Dược khoa hay Văn chương thuần túy để chuyên tâm theo toán học. Giáo sư Phó Đức Tố là vị thầy đầu tiên của tôi có một trình độ cao học về môn này với văn bằng cử nhân toán học ông đạt được trong những năm theo học ở Pháp. Tôi theo học chương trình Tú Tài Toán với thầy Tố ở Trường Trung Học Nguyễn Khuyến, Nam Định, lúc đó theo kháng chiến chống Pháp được di chuyển về Yên Mô ở Ninh Bình. Những năm theo học bậc chuyên khoa với thầy Tố ở Yên Mô đã giúp cho tôi nhận thức rằng phải có một lý luận chặt chẽ, không có sơ hở, trước khi quyết đoán bất kỳ một điều gì. Tôi có được ý thức này sau khi đã giải cặn kẽ chừng hai trăm bài toán hình học ở trong cuốn Géométrie, Classe de Mathématiques của Brachet, dạo ấy chỉ có một cuốn độc nhất truyền tay nhau giữa các học sinh lớp đệ Nhất B của thầy Phó Đức Tố. Sau khi đậu Tú Tài Toán ở Yên Mô, Ninh Bình vào năm 1949, tôi vào trong Nam Đàn thuộc tỉnh Nghệ An để học Toán Học Đại Cương với giáo sư Nguyễn Thúc Hào. Có thể nói là nhóm sinh viên học toán của chúng tôi đã là những người ham mê kiến thức nên đã lặn lội tầm sư học đạo, đi xa nhà hàng trăm cây số mà tiền thắt lưng chỉ đủ chừng một hay hai tháng ăn ở. Lúc đó vì chưa có một chính phủ quốc gia Viêït Nam, nên ở ngoài miền quê dưới sự kiểm soát của Việt Minh chưa có nền đại học. Trên toàn quốc chỉ có hai lớp mở ra để dậy toán học cao cấp, đặt ở địa phương đã có sẵn giáo sư, là một lớp ở Nam Đàn, nơi quê hương di tản của giáo sư Nguyễn Thúc Hào, và một lớp ở trên Việt Bắc là nơi có ông Nguyễn Xiễn đang làm việc trong Ủy Ban Kháng Chiến Toàn Quốc. Lớp Toán của chúng tôi có chừng hơn mười ngưòi và ai cũng được mời làm gia sư cho một gia đình khá giả trong vùng để tạm thời có chỗ ăn ở theo đuổi việc học. Ngoài văn bằng cử nhân Toán học, giáo sư Hào còn có một bằng cao học là bằng Giải Tích Cao Cấp (Analyse Supérieure). Ông thường nói ở trong lớp là ông rất tiếc không có dịp theo học cả văn bằng Hình Học Cao Cấp (Géométrie Supérieure) là một môn ông rất ưa chuộng. Theo lời ông giải thích thì lúc đó ở Pháp có 17 Khu Đại học mở chung quanh những đô thị lớn mà chỉ có Đại học Paris và Đại học Marseille là có văn bằng Hình Học Cao Cấp. Nhưng năm cuối cùng ông theo học ở Paris thì giáo sư giữ môn Hình Học lại nghỉ định kỳ nên ông đã chọn ghi tên học môn Giải Tích. Theo học ở Nam Đàn được nửa năm thì thân phụ tôi qua đời và tôi phải hồi cư về Hà Nội. Từ đó trở về sau các giáo sư toán của tôi đều là người ngoại quốc, nhưng bao giờ tôi cũng nhớ tới các vị giáo sư người Việt vì các thầy đã là những nguời khai tâm cho tôi, làm cho tôi thấy yêu thích môn toán học, để mở cho tôi biết một chân trời mới có đầy hoa thơm cỏ lạ.

Những Nàng Toán Tôi Đã Gặp

Là một nhà khoa học, tôi không tin ở số mệnh và vẫn thường nghĩ là mình phải luôn luôn cố gắng tự lập lấy cuộc đời hơn là trông cậy vào duyên may để tiến thân. Tuy vậy có một sự tình cờ là trong học trình toán học của tôi đã có hai người thuộc phái nữ giúp cho tôi đạt được ước nguyện. Hè năm 1950 tôi trở về Hà Nội và sau khi thi lấy bằng Tú Tài tương đuơng của chính phủ quốc gia lúc đó mới thành hình tôi ghi tên ở Trường Cao Đẳng Khoa Học để học thi lấy văn bằng Toán Học Đại Cương là văn bằng đầu tiên của chương trình cử nhân toán học. Cùng một lúc tôi ghi tên học tập sự dược khoa, và hàng ngày lui tới phòng thí nghiệm ở nhà thương Phủ Doãn. Chỉ vài tuần lễ sau là tôi thấy ngay là tôi không thể nào thành một dược sĩ để hàng ngày đếm thuốc, thu tiền. Tuy trên giấy tờ thì cái École Supérieure des Sciences mà tôi ghi tên theo học thuộc về Bộ Quốc Gia Giáo Dục của chính phủ Việt Nam, nhưng hàng ngày lui tới truờng thì tôi thấy trừ mấy người thư ký văn phòng còn từ khoa trưởng là ông Champy tới các giáo sư đều là ngưới Pháp. Dĩ nhiên là sự giảng dậy thuần túy bằng tiếng Pháp. Lớp Toán của tôi có hai giáo sư mà giáo sư chính là một cô giáo có bằng thạc sĩ là cô Duhamel trông còn trẻ và cũng khá xinh đẹp. Tôi gọi là cô không theo nghĩa thầy cô mình vẫn dùng mà vì cô giáo của chúng tôi chưa có chồng, và sinh viên phải gọi là Mademoiselle Duhamel. Vị giáo sư thứ hai là ông Moliné, thực ra lại là hiệu trưởng trường trung học Albert Sarraut, nhưng vì ông cũng là thạc sĩ toán học nên được mời tới giảng đậy ở bên đại học. Ngay sau giờ học đầu tiên tôi đã được cô giáo gọi tới văn phòng và mời tôi nhận chức phụ tá cho giáo sư. Thật ra tôi không hiểu tại sao cô Duhamel lại chọn tôi, vì mới là giờ học đầu tiên nên sự lựa chọn này không phải căn cứ lên điểm học. Nhờ làm assistant cho cô giáo, mỗi tuần làm việc 20 giờ mà tôi được một bàn học ở thư viện. Công việc làm thật là nhàn hạ, chỉ có hai tuần một lần thu bài của sinh viên, có vào khoảng hai chục người và trả lại bài đã chấm điểm. Thỉnh thoảng cô giáo lại tới tìm tôi ở thư viện và nhờ đánh máy một bài viết về xác suất là môn nghiên cứu của cô. Mỗi bài chỉ có chừng mười trang giấy là nhiều, nhưng cô cũng căn dặn tôi là không cần vội vã, để dành thời giờ vào bài học là cốt yếu. Để chiều lòng cô Duhamel, mổi lần tôi đánh máy xong một bài lại để một tuần lễ mới nộp, mà lần nào cô cũng cám ơn rối rít. Tiền lương phụ tá của tôi thừa thãi để ăn học, và vì được thảnh thơi học ở thư viện nên trong kỳ thi cuối niên học tôi làm bài được dễ dàng và được chấm đậu thủ khoa của lớp với hạng ưu và được luôn một học bổng để sang Pháp tiếp tục việc học. Nhưng cùng một lúc tôi nhận được giấy động viên để theo học khóa I Trường sĩ quan trừ bị Thủ Đức. Tuy phải bỏ giở sự học, không được tới trường, nhưng do sự giới thiệu của cô Duhamel tôi vẫn được ghi tên để thi chứng chỉ Cơ Học Thuần Lý (Mécanique Rationelle) năm tiếp theo ở Sài Gòn. Tôi không biết với lệnh động viên thì kỳ thi ở Hà Nội ra sao nhưng khoá thi ở miền Nam thì chỉ có hai sinh viên và chỉ có mình tôi được chấm đậu. Vậy là lần này tôi cũng đậu thủ khoa, nhưng vì suốt niên học tôi phải tập luyện ở quân trường, không có nhiều thì giờ dùi mài kinh sử, nên kỳ thi này tôi chỉ vừa đủ điểm và chỉ được cấp văn bằng với hạng thứ mà thôi.

Tôi ra trường sĩ quan trừ bị Thủ Đức với cấp bậc chuẩn úy công binh và được chuyển ra một đại đội làm cầu đường ở Thái Bình. Vừa về đơn vị được mấy tháng thì tôi đọc được thông cáo có khóa thi tuyển sinh viên sĩ quan vào Trường Võ Bị Không Quân Pháp ở Salon de Provence. Trường này là một trong bốn Trường Võ Bị lớn ở Pháp, cùng với những trường Polytechnique, St Cyr cho Lục quân và Brest cho Hải quân. Trình độ cho thí sinh thi vào tương đương với năm đầu chương trình cử nhân khoa học. Khóa thi năm 1952 mở ở Việt Nam có 5 người trúng tuyển và tôi được đứng đầu bảng. Sau khi đi khám sức khỏe thì tôi và hai người nữa đủ điều kiện theo ngành phi hành và sẽ đuợc đi Pháp theo chương trình huấn luyện ba năm. Còn hai người bạn đồng khóa được theo lớp sĩ quan kỹ sư cơ khí hàng không theo thời hạn hai năm. Vì theo học trở thành sĩ quan phi hành nên ngoài phần lý thuyết ở Salon de Provence tôi còn được gửi đi tập lái phi cơ ở những trường phi hành ở Marrakech bên Maroc và Avord ỡ Pháp. Vì trường Võ Bị Không Quân chỉ cách Marseille khoảng chừng 50 cây số nên tôi ghi tên học tiếp chương trình cử nhân toán học ở Đại Học Marseille. Trong chương trình này có văn bằng Toán Vi Phân và Tích Phân (Calcul Différentiel et Intégral) sinh viên ai cũng kêu là cửa ải khó qua, vậy mà năm sau dù không được tới trường lấy bài tôi cũng thi đậu dễ dàng tuy rằng cũng chỉ được hạng bình thứ. Tôi đạt được như vậy có lẽ vì ở trường Võ Bị, tuy phải tối ngày học tập, bầu không khí trí thức cũng được thoải mái với một thư viện sách khoa học đầy đủ. Hơn nữa vì trường giảng dậy theo quy chế các trưòng kỹ sư nên cuối tuần nào sinh viên cũng được nghỉ bắt đầu từ trưa thứ bẩy, nên trong suốt niên học tôi cũng có nhiều thì giờ làm những bài toán từ nay đối với tôi mỗi ngày một khó khăn hơn, nhưng cũng lại siêu việt hơn.

Bài viết của giáo sư Hoàng Xuân Hãn với tựa đề là "Toán Học" mà tôi được đọc khi tuổi mới mười hai, chỉ có hai trang báo ngắn nhưng viết rất hàm súc nên tôi nhớ nhiều đoạn. Theo ông thì "nhiều phần của toán học chỉ là một vật qúy đẹp, hiện giờ vô-dụng như một bông hoa qúy mà thôi. Nhưng chớ tưởng vô dụng mà bỏ. Tuy là vô-dụng, nhưng đó là tinh túy của trí khôn loài người. Và nhiều sự bây giờ vô-dụng một ngày kia sẽ thành hữu-dụng". Trong những năm ở Pháp, nhiệm vụ chính của tôi là học để trở thành một sĩ quan phi công và tôi đã cố gắng để không thua kém những sinh viên sĩ quan Pháp, về quân sự cũng như về phi hành. Những lý thuyết về toán tôi học thêm được dù có vô dụng, không giúp ích gì cho tôi thành một phi công tài ba hơn, một chiến sĩ can trường hơn, nhưng vì đó là những bông hoa qúy nên học thêm về toán chắc chắn sẽ làm cho cuộc đời tôi thêm hương sắc. Rồi có những ngày thao dượt, phi trường gió cát, ngồi dựa vào thân một cây gồi ở miền Bắc Phi, đợi đến phiên bay, tôi ngồi coi lại những công thức toán học đã được ghi trên một cuốn sổ nhỏ, hay những ngày đông mưa tuyết, những bạn học Pháp cùng trường đuợc về nhà nghỉ lễ Giáng Sinh, tôi ra phố thuê một căn phòng nhỏ để ngồi nghiền ngẫm những phương trình vi phân tôi mới học được trong sách. Vì phải học quân sự và kỹ thuật lại phải học bay nên những thì giờ rảnh rang cho tôi để học thêm những gì tôi muốn học thật là hạn hẹp. Sau văn bằng cử nhân, thay vì học thêm về cơ học, hay về khí động lực học là những môn học có dính líu ít nhiều đến ngành hàng không là công nghiệp của tôi, tôi lại ghi tên học môn hình học. Tới trình độ này, hình học không còn phải là môn hình học thông thường, vẽ những vòng tròn, những đường thẳng, nhìn không gian theo ba chiều, mà là môn học những hình chỉ có trong trí tưởng tượng, luôn luôn biến đổi theo không gian và thời gian. Tôi thấy như trở về thời đại của Plato, hơn hai mươi thế kỷ về trước, khi hình học tượng trưng cho những gì tinh túy nhất trong toán học, và môn toán học đã được nâng lên hàng triết lý siêu đẳng. Như trong bài luận thuyết của giáo sư họ Hoàng, những điều tôi học, nhiều năm sau tôi mới thấy hữu dụng. Khi đó tôi chỉ hiểu được rằng một khi biên giới chật hẹp của không gian ba chiều được xóa bỏ, trí tưởng tượng của con người tiến lên được một bực, chiều hướng suy luận được cởi mở hơn.

Trong niên học 1953-1954 tôi ghi tên học chứng chỉ Hình Học Cao Cấp ở Marseille. Chứng chỉ này được kể là bằng cao học (Diplôme d'études supérieures) nên trong lớp phần lớn là sinh viên học luyện thi thạc sĩ bậc trung học. Môn này ở Paris thì do giáo sư Garnier dạy và ở Marseille là nơi tôi ghi tên thì vị giáo sư phụ trách là ông Paul Vincensini, lúc đó cũng đã trọng tuổi. Tôi được biết chương trình gồm có hai phần, phần đầu là phần căn bản dạy môn hình học vi tích (Géométrie Différentielle), sinh viên cao học ai cũng phải biết, và phần sau tùy thuộc môn nghiên cứu đương thời của giáo sư và ông Vincensini cũng chọn dạy về Mặt diện tích tối thiểu (Surfaces Minima) như ông Garnier dạy ỡ Paris. Vì tôi phải ở trong Trường Võ Bị Không Quân, vừa học phần kỹ thuật hàng không khá nặng nề, vừa phải học bay nên không có dịp tới đại học nghe giảng. Được cái may là tất cả những điều hiểu biết về môn hình học vi tích thời bấy giờ đã được giáo sư Gaston Darboux, bí thư vĩnh viễn của Hàn Lâm Viện Khoa Học Pháp Quốc viết thành một bộ bốn pho sách, mỗi cuốn dày hơn 500 trang và lý thuyết mặt diện tích tối thiểu đã được giáo sư Garnier dạy ba năm liền tại Đại học Paris và năm nào cũng được in ronéo thành sách nên tôi đã sưu tầm mua được tất cả những tài liệu đó để khi có thì giờ rảnh lại miệt mài học. Giờ nghĩ lại, tôi cho rằng Trương Vô Kỵ khi được Cửu Dương Chân Kinh cũng không chắc đã chăm nghiền ngẫm hơn tôi thời bấy giờ. Tuy vậy tôi vẩn thấy lo ngại vì những lớp cao học thường ít người, giáo sư biết từng sinh viên một, tuy theo Đại học Pháp, các phân khoa được gọi là Faculté de Droit, Faculté des Sciences, vân... vân ..., có nghĩa là sinh viên được tùy tiện tới lớp hay không, giáo sư Vincensini cũng sẽ để ý là tôi không bao giờ có mặt tại giảng đường. Đầu năm 1954, vào dịp Tết Nguyên Đán năm ấy, vì là người Việt Nam nên tôi được trường đặc biệt cho nghỉ một ngày, không phải là ngày cuối tuần nên tôi tới ngay trường khoa học ở Marseille, để ít nhất cũng được nghe giảng một lần. Tôi còn nhớ mãi ngày Mồng Một Tết năm ấy, một buổi chiều mùa Đông tuyết ẩm, tôi chọn ngồi bàn đầu để ít ra giáo sư cũng thấy mặt. Lớp học có vào khoảng gần hai chục sinh viên, nhiều người trông lớn tuổi, có lẽ là giáo sư toán bậc trung học, nay luyện thi thạc sĩ để được vào chính ngạch. Cùng trong lớp tôi thấy có một nữ tu sĩ, tôi nghĩ là dễ làm quen, nên sau giờ học tôi đến hỏi thêm bà về những môn đã được dạy từ gần bốn tháng qua. Bà cho tôi biết là "soeur" Arigli, ở một tu viện gần đó và là một giáo sư toán ở một trường nữ trung học. Sau mỗi lần nghe giảng, ghi bài, lúc về nhà bà lại chép vào một cuốn vở khác nên khi tôi hỏi mượn bài bà vui lòng nói chừng hai hay ba tuần một lần, tôi lại tu viện bà lại cho tôi mượn cuốn vở cũ. Từ đó tôi yên tâm hơn vì ít ra cũng biết giáo sư Vincensini chú trọng đoạn nào trong những bộ sách tôi có.

Cuối niên học, tôi được Trường Võ Bị Không Quân cho nghỉ phép đi thi và sau hai ngày thi viết lúc tới coi giấy yết thị những ngưòi được vào vấn đáp, tôi thấy có 8 người, tên tôi lấy vần V nên viết ở cuối cùng. Nữ tu sĩ Arigli không được chấm đậu. Tôi cũng thấy buồn lây vì nghĩ rằng một người nhân hậu và học chăm chỉ như bà, chắc phải là một giáo sư tận tâm, dù tên không phải là vần A nhưng cũng đáng được đứng đầu bảng. Tôi nhờ được coi vở chép bài của nữ tu sĩ Arigli nên thi vấn đáp trả lời được trôi chẩy và đậu bằng cao học với hạng bình thứ. Giờ đây mỗi lần nhìn thấy những sách hình học trên giá sách, nghĩ dến người bạn học cùng lớp đúng một ngày Tết, tôi chợt thấy mình đã không biết trọn vẹn tên của người nữ tu.

Chương Trình Tiến Sĩ

Niên học 1954-1955 là năm cuối cùng tôi ở trên đất Pháp. Nghiệp bay thêm một lần nữa làm tôi di chuyển. Khi rời nước, cách đây hai năm chúng tôi có ba người được gửi đi theo học chương trình sĩ quan phi công theo đúng tiêu chuẩn của Pháp. Chúng tôi đã theo học trình như các sinh viên sĩ quan Pháp, nhưng nay chỉ còn tôi và người bạn đồng khoá là anh Hà xuân Vịnh được gửi tới căn cứ không quân ở Avord, thuộc hạt Cher để đưọc huấn luyện thành phi công bay phi cụ (vol aux instruments) trên phi cơ hai động cơ MD 315. Một bạn cùng lớp với chúng tôi là anh Lê Đình Cao lại bị loại về bay. Sau này trở về nước anh học lại để trở thành một bác sĩ y khoa. Căn cứ phi hành chúng tôi được chuyển tới ở ngay phía Nam thành phố Paris, cách chừng hai giờ đi xe lửa, mỗi ngày có nhiều chuyến, đi về rất tiện lợi. Vì thế tôi xin chuyển hồ sơ sinh viên từ Marseille lên Đại học Paris để học tiếp chương trình tiến sĩ quốc gia toán học. Dù biết là tôi chỉ còn đúng một năm ở Pháp, không thể nào làm cho xong luận án, nhưng tôi vẫn nghĩ rằng sẽ có một ngày đạt được mộng ước là đi cho đến tận cùng của nền học vấn. Tới giai đoạn này tôi đã hội đủ được điều kiện để làm luận án. Chỉ còn vấn đề là tìm được một giáo sư bảo trợ và một đề tài khảo cứu. Về Không Quân, chúng tôi đã học xong phần lý thuyết, cả về kỹ thuật lẫn quân sự, và nay ở căn cứ Avord chỉ còn phần phi hành, mỗi tuần chỉ bay có năm ngày nên cứ đến tối thứ Sáu là tôi lại đáp tàu đi Paris để đến khuya Chủ Nhật mới trở về căn cứ. Trong những thời gian ở kinh thành ánh sáng, tôi sống hòa mình vào cuộc sống của một sinh viên ở giữa khu La Tinh. Tuy tiền lương của tôi lúc đó, được lĩnh như một sĩ quan phi hành cấp úy, thừa đủ cho tôi sống những ngày cuối tuần ở Paris như một du khách, nhưng tôi vẫn tới ăn ở như một sinh viên nghèo ở Maison des Provinces trong khu Cité Universitaire để có thực sự hứng khởi mà chuyên cần đèn sách. Những dịp cuối tuần thường hay có những buổi thuyết trình đặc biệt ở Collège de France, lần nào có chuyên khoa về toán học tôi cũng tới tham dự. Thì giờ còn lại tôi tới thư viện của Faculté des Sciences để tìm đọc luận án tiến sĩ đã được bảo vệ trước đây. Tôi cũng được gặp mấy giáo sư để xin họ đề tài khảo cứu. Mỗi lần tới gặp một vị nào tôi cũng đã bỏ nhiều thì giờ để đọc sách và những ấn trình toán học của họ để có thể hỏi thêm và trình bày ý tưởng của tôi một cách mạch lạc. Sau mấy tuần lễ tìm gặp nhiều giáo sư thì tôi cũng chọn lựa được hai đề tài nghiên cứu, một về phương trình vi phân (Équations Différentielles) và một về phép tính biến thiên (Calcul des Variations), và sau khi thảo luận với các vị thầy hướng dẫn chúng tôi đều đồng ý là phải một thời gian nghiên cứu chừng ba năm mới có thể hoàn thành luận án được. Trong khi ấy thì thời gian qua đi mau chóng, chương trình huấn luyện bay của tôi cũng đã hoàn tất. Tôi đã nhận được giấy hồi hương. Sự học của tôi lại thêm một lần bị gián đoạn. Chiến trận Điện Biên Phủ trong năm qua đã thực sự cáo chung sự hiện diện của người Pháp trên bán đảo Đông Dương. Riêng ở Việt Nam, một Chính phủ quốc gia, có một quân đội riêng để bảo vệ non sông, đã được hình thành. Với lớp người chúng tôi từ Pháp trở về nước, ngoài hai chúng tôi là phi công từ trường Võ Bị và hai trung úy kỹ sư học cùng khóa đã về năm trước, còn rất nhiều phi công và cơ khí viên học theo những chương trình khác, nay cùng về để xây dựng một không lực cho đất nước. Tôi nghĩ là lần này tôi sẽ thực sự xếp bút nghiên.

Từ nhiều năm nay, Việt Nam đã có một nền đại học, và số người được gửi ra theo học ở nước ngoài cũng khá nhiều. Nhưng riêng về khoa học, đặc biệt là những ngành chính như toán, vật lý và hóa học thì số người đạt tới trình độ cao học vẫn còn thưa thớt. Khi tôi bắt đầu vào Trung học, thì được nghe nói là ngoài một số các vị thầy đã có văn bằng cử nhân, còn đạt được trình độ thạc sĩ toán mới chỉ có giáo sư Hoàng Xuân Hãn. Theo ông Nguyễn Xiển là người học cùng thời thì ông Hãn là người đầu tiên đậu thạc sĩ toán học vào năm 1936. Ngoài ra tôi cũng được nghe nói là người đầu tiên có công trình khảo cứu xuất sắc và đậu tiến sĩ toán học là ông Lê Văn Thiêm. Sau này có thêm nhiều người được văn bằng tiến sĩ toán học, thường là ở Pháp, nhưng số lượng vẫn chỉ còn đếm được trên những đầu ngón tay. Vì vậy tôi cũng thấy buồn cho mình khi chỉ còn một chặng đường ngắn để xong học vị tiến sĩ quốc gia toán học mà tôi phải ngưng lại một thời gian. Khoảng thời gian ngưng lại, từ năm 1955 khi tôi ở Pháp về Việt Nam, cho đến năm 1962 khi tôi sang Hoa Kỳ để trở lại với sách đèn, đã cho tôi có dịp được hãnh diện phục vụ trong quân đội trong chức vụ Tư Lệnh Không Quân để đem hết cả những gì tôi đã học hỏi được, cùng với hơn năm ngàn chiến sỉ huynh đệ xây dựng nên Không Quân Việt Nam Cộng Hòa để sau này có ngày trở nên một không lực hùng mạnh đứng vào hàng thứ tư trên thế giới. Cùng một lúc, vì biết nước nhà còn thiếu một cách trầm trọng những giáo sư toán học, sau khi được bộ Quốc Phòng cho phép, tôi đã tình nguyện dạy mổi tuần 4 giờ Toán cho Trường Trung Học Chu Văn An ở Sài Gòn. Công việc phụ trội này đã giúp cho trí não tôi được quân bình giữa hai nghiệp văn và võ. Những bài giảng của tôi về sau cũng được Bộ Quốc Gia Giáo Dục in thành sách.

Vì Không Quân, dưới quyền chỉ huy của tôi, xử dụng toàn những phi cơ của Hoa Kỳ, nên tôi đã được mời sang Mỹ hai lần để thăm viếng nhiều căn cứ huấn luyện và kỹ thuật đã làm việc trực tiếp với chúng tôi trong những năm qua. Năm 1960, khi tới thăm Air Force Institute of Technology ở Wright Patterson Air Force Base ở Dayton, Ohio, tôi được biết Không Quân Hoa Kỳ có chương trình gửi sĩ quan tới những đại học dân sự để theo học trình độ tiến sĩ ỡ nhiều ngành. Khi về nhà tôi ngỏ ý với những cố vấn Mỹ làm việc ở Bộ Tư Lệnh là trong tương lai tôi cũng muốn được sang một đại học ở Hoa Kỳ để học cho xong chương trình tiến sĩ toán học. Sau nhiều lần vận động với Bộ Tư Lệnh Không Quân Hoa Kỳ ở Hoa Thịnh Đốn, những người bạn Mỹ của tôi đã thu xếp cho tôi được một học bổng theo học môn khoa học hàng không và không gian ở đại học Colorado. Họ cho tôi biết là tôi vẫn có thể học thêm về toán học nhưng trên giấy tờ nên ghi là tôi theo học về ngành hàng không cho hợp lý hơn. Phải đợi thêm hai năm tôi mới xin được từ nhiệm để nhận học bổng và lên đường du học vào tháng 8 năm 1962 để nhập học khóa mùa Thu ở đại học Colorado.

Câu chuyện học của tôi sau này, đã nhiều lần tôi kể lại qua những bài ký sự tôi viết cho nhiều báo và đăng thành tập tùy bút với đề là "Theo Ánh Tinh Cầu" do nhà sách Đại Nam xuất bản. Thời gian tôi tới theo học ở Hoa Kỳ thì khoa học không gian đang bắt đầu phát triển. Vì vậy, vào năm 1965 tôi đã là người đầu tiên được cấp phát văn bằng tiến sĩ khoa học hàng không và không gian của đại học Colorado. Sự việc này cũng đã được chính thức ghi trong cuốn sách "Proud Past, Bright Future" nói về lịch sử của Trường Kỹ Thuật của đại học. Luận án tôi nộp thực ra là một luận án toán học vì tôi đã viết về hình học quỹ đạo. Tôi đã viết nhiều bài về vấn đề này để đăng trên các báo khoa học quốc gia và quốc tế và trình bày ở các hội nghị khoa học không gian. Nhờ vậy mà tôi được nhiều đại học mời giảng dạy. Sau khi tốt nghiệp, tôi được mời ở lại Đại học Colorado với chức vụ assistant professor và sau ba năm được đại học Michigan mời tới làm associate professor. Bốn năm sau, nghĩa là vào năm 1972 tôi được đại học Michigan bổ nhiệm vĩnh viễn với chức vụ giáo sư thực thụ là ngạch cuối cùng trong ngành giảng huấn. Sự thăng cấp có thể gọi là rất nhanh chóng của tôi ở một đại học đứng vào hàng đầu về môn khoa học không gian như đại học Michigan là do tôi đã làm việc ngày đêm không quản ngại, cốt để chứng minh khả năng của người mình cũng có thể thành công ở những ngành khoa học tối tân nhất của thế kỷ. Trong những năm đầu ở Michigan, tôi thường hay có dịp đi dự những hội nghị về khoa học không gian ở Âu châu, và một lần ghé thăm đại học Paris, tôi được biết là hồ sơ theo học chương trình tiến sĩ quốc gia toán học cùa tôi vẫn cập thời và theo thủ tục hành chánh tôi chỉ cần ghi danh vào năm tôi muốn trình luận án. Cũng là duyên may cho tôi là giáo sư phụ trách môn cơ học giải tích ở đại học Paris, là môn học tôi đang triển khai lúc đó, lại là ông Paul Germain, hiện đang là Bí thư vĩnh viễn (Secrétaire Perpétuel) của Hàn Lâm Viện Khoa Học Pháp quốc, và cũng là người đã nghe tôi thuyết trình ở những hội nghị quốc tế và đã tỏ vẻ chú ý đến những kết quả tôi tìm ra được. Tôi đã tới gặp ông Paul Germain ở văn phòng ở đại học Paris và được ông khuyến khích viết cho xong luận án và ông cũng hứa xếp đặt cho tôi được một ban giám khảo gồm có những giáo sư danh tiếng của đại học. Ngày 9 tháng 6 năm 1972, trước một ban giám khảo gồm có năm vị giáo sư lão thành do ông Paul Germain chủ tọa, tôi đã trình luận án với đề là "Étude de quelques équations différentielles linéaires et non linéaires avec applications à la mécanique céleste" và được cấp văn bằng tiến sĩ quốc gia toán học cuả đại học Paris với thứ hạng tối danh dự (mention très honorable). Lúc đó tôi đã là giáo sư thực thụ của đại học Michigan, nên có thêm văn bằng tiến sĩ của Pháp thật không có ảnh hưởng gì đến công nghiệp của tôi. Nhưng dạo đó giáo sư Nguyễn Chung Tú là khoa trưởng Khoa học ỡ Viện đại học Việt Nam ở Sài Gòn đã viết thư báo cho tôi biết là, theo đề nghị của hai giáo sư toán là Từ Ngọc Tỉnh và Nguyễn Đình Ngọc, Hội đồng khoa đã bỏ phiếu chấp thuận mời tôi về giảng dạy trong một thời gian. Tôi nghĩ rằng nếu có cả hai văn bằng Pháp và Mỹ thì trong khi thăm viếng giảng dạy tôi sẽ dễ dàng đóng vai người phân giải mỗi khi có sự tranh chấp hay xích mích giữa các giáo sư ở hai nguồn huấn luyện khác nhau. Hai năm sau, trong niên học 1974-1975 tôi được mời làm khảo cứu và giảng dạy ở Pháp. Đây là những dịp nghỉ định kỳ ở đại học, cứ mỗi lục niên lại để giáo sư được nghỉ để đi làm khảo cứu hay giảng dậy ở một nơi khác để có dịp trao đổi ý kiến với những bạn đồng nghiệp ở nơi xa. Tôi đã định là sau năm thăm viếng ở Pháp, tôi xin nghỉ thêm mấy tháng để về dạy ở Đại học Sài Gòn. Ý định này tôi chưa thực hiện được thì đã có sự đổi thay trên quê hương.

Nàng Toán và Nàng Thơ

Tôi có thể nói không chút ngượng ngùng là tôi mê toán học trọn đời, như mấy câu thơ tôi đọc được ở đâu đó và tôi viết lại ở phần mở đầu. Tôi yêu toán học như tôi đã yêu viết văn và làm thơ, vì tôi nghĩ theo học toán không hẳn sẽ làm cho tâm hồn khô cằn lại vì những người thực sự là có năng khiếu về toán thì thường thường lại là những người có óc tưởng tượng phong phú và cũng có thể là những triết gia. Nói theo cách khác, họ cũng có óc thơ mộng không thua kém gì những người vẫn tự cho mình là thi sĩ. Đó là một chân lý vì muốn đi vào nghiên cứu và phát minh, toán gia cần phải có một bộ óc giầu tưởng tượng, phải có chút ít thơ mộng, vượt qua những tầm thường gò bó của thế tục. Nhà toán học Đức quốc lừng danh Karl Weierstrass (1815-1897) của thế kỷ 19 đã viết rằng:

             "It is true that a mathematician who is not also something of a poet will never be a perfect mathematician" .

Câu này có thể tạm dịch là:
"Thật đúng vậy, là một toán gia nếu không cùng một lúc là một thi sĩ thì không thể nào là một toán gia vẹn toàn được".

Vì tin ở lời nói của Weierstrass, là một toán gia tôi rất hâm mộ, nên đôi khi trăn trở về một bài toán mà tôi chưa tìm ra được lời giải toàn vẹn, một lời giải chưa thật "élégant" như giáo sư Đỗ Qúy Toàn đã viết là đôi khi đã phát biểu trong lớp đang dậy, tôi cũng đã từng đổi bút, làm thơ. Dưới đây là một bài tiêu biểu:

               Tình Hư Ảo

Anh tìm em trên vòng tròn lượng giác,
Nét diễm kiều trong tọa độ không gian.
Đôi trái tim theo nhịp độ tuần hoàn,
Còn tất cả chỉ theo chiều hư ảo.
Bao mơ ưóc, phải chi là nghịch đảo,
Bóng thời gian, quy chiếu xuống giản đồ.
Nghiệm số tìm, giờ chỉ có hư vô,
Đường hội tụ, hay phân kỳ giải tích.
Anh chờ đợi một lời em giải thích,
Qua môi trường có vòng chuẩn chính phương.
Hệ số đo cường độ của tình thương,
Định lý đảo, tìm ra vì giao hoán.
Nếu mai đây tương quan thành gián đoạn,
Tính không ra phương chính của cấp thang.
Anh ra đi theo hàm số ẩn tàng,
Em trọn vẹn thành phương trình vô nghiệm .
                         Toàn Phong

Tôi hay được mời đi thuyết giảng về khoa học, và cũng nhiều lần được mời nói chuyện với người đồng hương. Vì vậy tôi có sẵn hai bản tiểu sử. Bản tiếng Việt thì tôi có thêm ít chi tiết về những sáng tác văn thơ. Còn bản tiếng Anh thì tuy cũng ngắn gọn như bản tiếng Việt nhưng chỉ có những dữ kiện thuần túy về khoa học. Ngày mồng 9 tháng Năm, năm 1997, đúng vào ngày ông Peterson là vị đại sứ đầu tiên của Hoa Kỳ tới Hà Nội để quan hệ ngoại giao với Việt cộng, theo lời mời của Tổ Chức Quốc Tế Yểm Trợ Cao Trào Nhân Bản, tôi tới nói chuyện ở Falls Church thuộc tiểu bang Virginia trong Ngày Nhân Quyền. Buổi dạ tiệc gây qũy ở nhà hàng Thần Tài đêm hôm đó, và tôi đã nói về đề tài "Vọng Cố Hương", đã rất thành công vì có hơn 600 người tham dự, và trong phần giới thiệu diễn giả, vì có một số nhân vật Hoa Kỳ hiện diện nên xướng ngôn viên đã dùng bản tiếng Việt để dịch ra tiếng Anh tiểu sử của tôi như là một giáo sư toán học không gian nhưng cũng là môt nhà văn và nhà thơ. Sau đó có một vị khách ngoại quốc đến xin tôi một bài thơ tôi đã viết bằng tiếng Anh, ông nói là để giữ làm kỷ niệm. Trước đây tôi đã viết một vài truyện ngắn bằng Anh ngữ và đăng ở trên Empire Magazine là tuần báo ra ngày Chủ Nhật kèm với nhật báo Denver Post. Tôi cũng đã viết ra được vài bài thơ bằng tiếng Pháp. Nhưng lần này để chiều lòng người khách ngoại quốc và cũng để chứng tỏ rằng tôi coi Nàng Toán và Nàng Thơ như nhau, tôi đã viết một bài thơ Toán bằng Anh ngữ như sau để gửi cho ông:

 

      A History of Mathematics
                           A poem by TP

Cro-Magnon Man added his fingers,
And lying beside his mate calculated hers.
With the dawn of Paleolithic art
Men foresaw early geometric signs in the race's future
Drawing into Mesolithic agriculture.
Circumscribing the hallowed lands
Recovered from Mother Nile,
Gazing into the starlit sky
After the death of Zeno,
Hippocrates of Chios
Heralded the iconic birth of Plato.
Euclid's Elements are monumental:
From Seigneur to Vassal, in two or three dimensionals,
They transverse the planes of our world,
High or low, narrow and wide.
Without subterfuge or ruse,
Running through the ancient streets of Syracuse,
Archimedes kept crying:
Eureka! Eureka!
I found it!
Plenitude and perfection,
Through centuries of reflection,
From Medieval rings
To Feuerbach's circle, it's located
Within its divine nine points
And the conic sections of Dandelin.
Infinite series were beloved of Maclaurin.
With the Queen of Sciences on his side,
The Universe cannot hide.
In the exploits of those Three Musketeers,
Lagrange, Laplace and Legendre,
Libration points and elliptic resonance
Finish in full concordance.
In the age of Einstein
Appear Hardy of Britain,
And Ramanujan of India.
From India the distant land
To the shores of fair England
A Hindu genius self-taught.
Several years after Hausdorff
Mathematics turns abstract,
With domain linked and compact.
Transversing the geodesic lines
Without measuring,
How do we escape the Klein Bottle?
Dancing and singing
On the bridge of Avignon,
Thinkers tinker with Hamilton's quaternions.
Balanced forever on the Mobius strip
Without traversing the surface
We morph ourselves to the other side.
Lindermann proved Pi transcendental,
While Hermite showed e transformational.
Theorems proved without doubt immortal.
Higher space or hyperplane
Conclude in the Markov chain.
Dreamer, poet or mathematician,
Hardy said we are makers of patterns,
Designs in Hilbert or Banach spaces.
For integration, let us have Lebesgue.
Set theory and topology,
Pure invention - just ask Bourbaki.
Calculus of variations
Opens the way to control theory.
Shall we name the last universalist?
Can it be Carl Gauss or Henri Poincaré?
Can we have both? A mathematical impossibility?
Not if they converge in eternity.

                   Toan Phong
 

Nhưng có một điều tôi phải thú nhận là nếu lời thơ đọc lên mà thấy hay tuyệt vời thì con người toán không thể nào toàn vẹn. Tôi đã trích lời viết của Weierstrass trong cuốn sách "Men of Mathematics" của cố giáo sư Eric Temple Bell thuộc California Institute of Technology, trong chương sách nói về Karl Wilhelm Theodor Weierstrass, một trong những toán gia hàng đầu của thế kỷ 19. Cuối chương sách này giáo sư Bell cũng bầy tỏ ý kiến rằng : "A perfect mathematician, by the very fact of his poetic perfection, would be a mathematical impossibility". Theo tôi hiểu thì không có thể nào ôm đồm mà nói là toàn vẹn cả hai bề. Vậy tôi xin ở lại với toán học và trả thơ văn lại cho gió bốn phương trời.

Toàn Phong Nguyễn Xuân Vinh